Kā izveidot intuīciju rekursijai

Un kā to izmantot problēmu risināšanai

Rekursija ir viena no visbiedējošākajām tēmām, ar kuru studenti saskaras programmēšanā. To ir grūti saprast, jo cilvēka smadzenes nespēj veikt rekursiju, bet datori ir. Tieši tāpēc rekursija ir tik spēcīgs rīks programmētājiem, taču tas nozīmē arī to, ka iemācīties to izmantot ir ārkārtīgi grūti. Es vēlos jums palīdzēt izveidot intuīciju rekursijai, lai jūs to varētu izmantot problēmu risināšanai.

Esmu mācībspēks datorzinātņu ievada kursā savā universitātē. Es šonedēļ divpadsmit reizes esmu izskaidrojis rekursiju tieši tāpat. Šķiet, ka mans skaidrojums palīdz lielākajai daļai studentu. Šī raksta augšdaļā ir visplašākais skaidrojums, bet apakšā - visprecīzākais skaidrojums. Tādā veidā jūs varat sākt sākumā un pārtraukt, tiklīdz jūtat, ka pietiekami labi saprotat rekursiju. Esmu sniedzis dažus piemērus Java valodā, un tie ir pietiekami vienkārši, lai ikviens, kam ir kāda programmēšanas pieredze, tos varētu interpretēt.

Kas ir rekursija?

Lai saprastu rekursiju, sāksim soli atpakaļ no programmēšanas. Sāksim ar vispārēju termina definīciju. Kaut kas ir rekursīvs, ja to zināmā mērā nosaka pati definīcija. Tas, iespējams, ļoti nepalīdz izprast rekursiju, tāpēc apskatīsim matemātisko definīciju. Jūs esat iepazinies ar funkcijām - viens skaitlis ienāk, cits numurs iznāk. Viņi izskatās šādi:

f (x) = 2x

Nedaudz mainīsim šo ideju un tā vietā domāsim par secību. Secība ņem veselu skaitli, un iznāk vesels skaitlis.

A (n) = 2n

Secības var uzskatīt par funkcijām ar ieejām un izejām, kas ierobežotas tikai ar pozitīviem veseliem skaitļiem. Parasti secības sākas ar 1. Tas nozīmē, ka A (0) ir 1. Iepriekšējā secība ir šāda:

A (n) = 1, 2, 4, 6, 8, 10,… kur n = 0, 1, 2, 3, 4, 5,…

Apsveriet šādu secību:

A (n) = 2 x A (n-1)

Šī secība ir rekursīvi definēta. Citiem vārdiem sakot, jebkura norādītā elementa vērtība ir atkarīga no cita elementa vērtības. Šī secība izskatās šādi:

A (n) = 1, 2, 4, 8, 16,… kur n = 0, 1, 2, 3, 4,…

Jebkurš elements tiek definēts kā 2 reizes lielāks par iepriekšējo elementu.

  • N = 4 elements, 16, tiek definēts kā 2 reizes lielāks par iepriekšējo elementu.
  • Elements n = 3, 8, tiek definēts kā 2 reizes lielāks par iepriekšējo elementu.
  • Elements n = 2, 4, tiek definēts kā 2 reizes lielāks par iepriekšējo elementu.
  • N = 1 elements, 2, tiek definēts kā 2 reizes lielāks par iepriekšējo elementu.
  • Elementu n = 0, 1, definē kā…

Elementu n = 0 nevar rekursīvi definēt. Iepriekšējā elementa nav. Mēs to saucam par pamata gadījumu , un tas ir rekursīvu definīciju nepieciešamās sekas. Tiem jābūt skaidri attēlotiem jūsu kodā . Mēs varētu attēlot šo rekursīvo secību Java šādi:

public int A(int n){ if (n == 0) return 1; return 2 * A(n - 1);}

Jums vajadzētu iepazīties ar rekursīvās metodes anatomiju. Ievērojiet pamata gadījumu: ja n ir 0, elements tiek definēts kā 1. Pretējā gadījumā elements tiek definēts kā 2 reizes lielāks par iepriekšējo elementu. Mums rekursīvi jāizsauc metode, lai iegūtu iepriekšējā elementa vērtību, un pēc tam to reiziniet ar 2. Visām rekursīvajām metodēm būs šie divi komponenti:

  • Bāzes gadījums, kas atgriež precīzi definētu vērtību.
  • Rekursīvs gadījums, kas atgriež rekursīvi definētu vērtību.

Darīsim vēl vienu piemēru, turpinot matemātikas kontekstu. Rekursijas ilustrēšanai bieži izmanto Fibonači secību. Jebkurš Fibonači secības elements ir divu iepriekšējo elementu summa. Tas notiek šādi:

F (n) = 1, 1, 2, 3, 5, 8,… kur n = 0, 1, 2, 3, 4, 5,…

  • Elementu n = 5, 8 definē kā elementa n = 4 un elementa n = 3 summu…

Šajā brīdī jums vajadzētu vilcināties. Iepriekšējā piemērā katrs elements bija atkarīgs tikai no viena cita elementa, tagad katrs elements ir atkarīgs no diviem citiem elementiem. Tas sarežģī lietas.

  • Elementu n = 4, 5, definē kā elementa n = 3 un elementa n = 2 summu.
  • Elementu n = 3, 3, definē kā elementa n = 2 un elementa n = 1 summu.
  • Elementu n = 2, 2, definē kā elementa n = 1 un n = 0 summu.
  • Elementu n = 1, 1, definē kā elementa n = 0 un… summu.

Elementu n = 1 nevar rekursīvi definēt. Nevar būt arī elements n = 0. Šos elementus nevar definēt rekursīvi, jo rekursīvajai definīcijai nepieciešami divi iepriekšējie elementi. Elementam n = 0 nav iepriekšējo elementu, un n = 1 elementam ir tikai viens iepriekšējais elements. Tas nozīmē, ka ir divi pamata gadījumi. Pirms jebkura koda rakstīšanas es pierakstīju kaut ko līdzīgu:

Elements n = 0 ir definēts kā 1. Elements n = 1 ir definēts kā 1.

N elements tiek definēts kā n-1 elementa un n-2 elementa summa.

Tagad mums ir ideja par to, kā šis uzdevums tiek definēts rekursīvi, un mēs varam turpināt rakstīt kodu. Nekadsāciet rakstīt kodu, vispirms dabiski neizprotot uzdevumu.

public int F(int n) if (n == 0 

Zvanu kaudze

As programmers, we want to have an intuition for recursion so that we may use it to do things. To do so effectively, we must understand how a computer processes recursion.

There is a data structure that the computer uses to keep track of method calls called the call stack. Each method call creates local variables from the method parameters. The computer needs to store these variables while the method is being executed. Then, the computer ditches the values when the method returns to avoid wasting memory.

The call stack (and stacks in general) function as you might imagine some sort of real-life stack would. Imagine a stack of papers on your desk — it starts as nothing, and then you add papers one by one. You don’t know anything about any of the papers in the stack except for the paper on top. The only way you can remove papers from the stack is by taking them off the top, one-by-one, in the opposite order that they were added.

This is essentially how the call stack works, except the items in the stack are activation records instead of papers. Activation records are just little pieces of data that store the method name and parameter values.

Without recursion, the call stack is pretty simple. Here’s an example. If you had some code that looked like this…

public static void main(String[] args) System.out.println(myMethod(1));

…The call stack would look like this:

* myMethod(int a)
* main(String[] args)

Here we see two methods under execution, main and myMethod. The important thing to notice is that main cannot be removed from the stack until myMethod is removed from the stack. In other words, main cannot complete until myMethod is called, executed, and returns a value.

This is true for any case of method composition (a method within a method) — so let’s look at recursive example: the A(int n) method we wrote earlier. Your code might look like this:

public static void main(String[] args) System.out.println(A(4));
public static int A(int n){ if (n == 0) return 1; return 2 * A(n - 1);}

When main is called, A is called. When A is called, it calls itself. So the call stack will start building up like so:

* A(4)* main(String[] args)

A(4) calls A(3).

* A(3)* A(4)* main(String[] args)

Now, it’s important to note that A(4) cannot be removed from the call stack until A(3) is removed from the call stack first. This makes sense, because the value of A(4) depends on the value of A(3). The recursion carries on…

* A(0)* A(1)* A(2)* A(3)* A(4)* main(String[] args)

When A(0) is called, we have reached a base case. This means that the recursion is completed, and instead of making a recursive call, a value is returned. A(0) comes off the stack, and the rest of the calls are then able to come off the stack in succession until A(4) is finally able to return its value to main.

Here’s the intuition: the return value of any method call depends on the return value of another method call. Therefore, all the method calls must be stored in memory until a base case is reached. When the base case is reached, the values start becoming well-defined instead of recursively defined. For example, A(1) is recursively defined until it knows the definition of the base case, 1. Then, it is well-defined as 2 times 1.

When we are trying to solve problems with recursion, it is often more effective to think about the order in which values are returned. This is the opposite of the order in which calls are made. This order is more useful because it consists of well-defined values, instead of recursively defined values.

For this example, it is more useful to consider that A(0) returns 1, and then A(1) returns 2 times 1, and then A(2) returns 2 times A(1), and so on. However, when we are writing our code, it can easier to frame it in the reverse order (the order that the calls are made). This is another reason that I find it helpful to write the base case and the recursive case down before writing any code.

Helper Methods and Recursion vs. Loops

We are programmers, not mathematicians, so recursion is simply a tool. In fact, recursion is a relatively simple tool. It’s very similar to loops in that both loops and recursion induce repetition in the program.

You may have heard that any repetitive task can be done using either a while loop or a for loop. Some tasks lend themselves better to while loops and other tasks lend themselves better to for loops.

The same is true with this new tool, recursion. Any repetitive task can be accomplished with either a loop or recursion, but some tasks lend themselves better to loops and others lend themselves better to recursion.

When we use loops, it is sometimes necessary to make use of a local variable to “keep track” of a calculation. Here’s an example.

public double sum (double[] a){ double sum = 0.0; for (int i = 0; i < a.length; i++) sum += a[i]; return sum;
}

This method takes an array of doubles as a parameter and returns the sum of that array. It uses a local variable, sum, to keep track of the working sum. When the loop is completed, sum will hold the actual sum of all values in the array, and that value is returned. This method actually has two other local variables that are less obvious. There is the double array a, whose scope is the method, and the iterator i (keeps track of the index), whose scope is the for loop.

What if we wanted to accomplish this same task using recursion?

public double recursiveSum(double[] a) # recursively calculate sum

This task is repetitive, so it is possible to do it using recursion, though it is probably more elegantly accomplished using a loop. We just need to create a few local variables to keep track of the working sum and the index, right?

Alas, this is impossible. Local variables only exist in the context of a single method call, and recursion makes use of repeated method calls to accomplish a repetitive task. This means that local variables are pretty much useless when we are using recursion. If you are writing a recursive method and you feel as though you need a local variable, you probably need a helper method.

A helper method is a recursive method that makes use of additional parameters to keep track of values. For recursiveSum, our helper method might look like this:

public double recursiveSum(double[] a, double sum, int index){ if (index == a.length) return sum; sum += a[index]; return recursiveSum(a, sum, index + 1);}

This method builds the sum by passing the working value to a new method call with the next index. When there are no more values in the array, the working sum is the actual sum.

Now we have two methods. The “starter method,” and the helper method.

public double recursiveSum(double[] a) # recursively calculate sum
public double recursiveSum(double[] a, double sum, int index){ if (index == a.length) return sum; sum += a[index]; return recursiveSum(a, sum, index + 1);}

The term “helper method” is actually a bit of a misnomer. It turns out that the helper method does all the work, and the other method is just a starter. It simply calls the helper method with the initial values that start the recursion.

public double recursiveSum(double[] a) return recursiveSum(a, 0.0, 0);
public double recursiveSum(double[] a, double sum, int index){ if (index == a.length) return sum; sum += a[index]; return recursiveSum(a, sum, index + 1);}

Note that the values used in the starter call to the helper method are the same values used to initialize the local variables in the loop example. We initialize the variable used to keep track of the sum to 0.0, and we initialize the variable used to keep track of the index to 0.

Earlier, I said that local variables are useless in the context of recursion. This isn’t completely true, because the method parameters are indeed local variables. They work for recursion because new ones are created every time the method is called. When the recursion is executed, there are many method calls being stored in the call stack, and as a result there are many copies of the local variables.

You might ask, “If the helper method does all the work, why do we even need the starter method? Why don’t we just call the helper method with the initial values, and then you only need to write one method?”

Atcerieties, ka mēs mēģinājām aizstāt metodi, kas izmantoja a for loop. Šī metode bija vienkārša. Tas izmantoja masīvu kā parametru un atgrieza masīva summu kā dubultu. Ja mēs aizstātu šo metodi ar metodi, kurai nepieciešami trīs parametri, mums jāatceras to izsaukt ar pareizajām sākuma vērtībām. Ja kāds cits vēlētos izmantot jūsu metodi, tas būtu neiespējami, ja viņš vai viņa nezinātu sākuma vērtības.

Šo iemeslu dēļ ir lietderīgi pievienot vēl vienu metodi, kas mums rūpējas par šīm sākuma vērtībām.

Iesaiņošana

Rekursija ir diezgan izaicinošs jēdziens, taču jūs to izdarījāt līdz mana skaidrojuma beigām. Es ceru, ka jūs nedaudz labāk saprotat burvību. Tagad es jums oficiāli piešķiru titulu “Rekursijas lielvedis”. Apsveicam!